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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 4 - Estudio de funciones

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4.4. Dadas las siguientes funciones ff definidas por y=f(x)y=f(x), indicar imagen, extremos absolutos y relativos en el dominio indicado en cada ítem. Graficar.
a) f(x)=x5−20x+2,xϵ[−2,3]f(x)=x^{5}-20 x+2, x \epsilon[-2,3]

Respuesta

Vamos a estudiar la función f(x)=x5−20x+2,xϵ[−2,3]f(x)=x^{5}-20 x+2, x \epsilon[-2,3] siguiendo la estructura que vimos en las clases de Maˊximos y mıˊnimos absolutos\textbf{Máximos y mínimos absolutos}. 

En este caso, ff está definida en un intervalo cerrado y acotado, [−2,3][-2,3], y es continua en este intervalo. Por lo tanto, por el Teorema de Weierstrass podemos asegurar que ff va a alcanzar máximo y mínimo absoluto en este intervalo. 

1)\textbf{1)} Empecemos derivando ff

f′(x)=5x4−20 f'(x) = 5x^4 - 20

2)\textbf{2)} Igualamos f′f' a cero y despejamos:

5x4−20=0 5x^4 - 20 = 0
x4=4 x^4 = 4
∣x∣=2|x| = \sqrt{2}

Por lo tanto, x=−2x=-\sqrt{2} y x=2x=\sqrt{2} son puntos críticos. Ambos pertenecen al intervalo [−2,3][-2,3], así que consideramos los dos.

Además, acordate que los extremos del intervalo [−2,3][-2,3] también son extremos de la función. 

3)\textbf{3)} Evaluamos ff en los puntos críticos y en los extremos del intervalo

- f(−2)=10 f(-2) = 10 - f(−2)≈24.62 f(-\sqrt{2}) \approx 24.62 - f(2)≈−20.62→ f(\sqrt{2}) \approx -20.62 \rightarrow Mínimo absoluto - f(3)=185→ f(3) = 185 \rightarrow Máximo absoluto

La imagen de ff es [f(2),f(3)][f(\sqrt{2}), f(3)]. Es decir, desde lo que vale la función en el mínimo absoluto hasta lo que vale la función en el máximo absoluto ;)
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